Claude zatvoril Fermat za 11 dní: 13,4 milióna riadkov Lean a nula „to je zrejmé“

4. septembra spoločnosť Anthropic oznámila prvý kompletný počítačovo skontrolovaný dôkaz Fermatovej poslednej vety. Claude strávil 11 dní – takmer bez ľudskej pomoci – prekladaním dôkazu Andrewa Wilesa do štíhleho jazyka: 13,4 milióna riadkov kódu, približne 30 000 prechodných teorémov a nikde ani jedno „je to zrejmé odtiaľto“. Projekt, ktorý mali matematici naplánovaný na roky – plán len pre prvú fázu, ktorý napísal Kevin Buzzard z Imperial College London, má 86 strán – bol hotový za menej ako dva týždne.

Ujasnime si, čo sa nestalo: neexistuje žiadny nový dôkaz. Model nenašiel vlastnú cestu k vete. Urobilo to niečo, čo je pravdepodobne ťažšie – vyžadovalo si ľudsky napísaný dôkaz plný fráz ako „toto triviálne nasleduje“ a prepísalo to tak, že kompilátor overí každý jeden krok. Matematici si boli na 99,9 % istí Wilesovým argumentom od roku 1995. Teraz je dôvera úplná: Lean prehral celý reťazec uvažovania z troch Leanových štandardných axióm.

Čo presne počítač skontroloval

Čísla tu fungujú lepšie ako prídavné mená.

• 13,4 milióna riadkov Lean – viac ako päťnásobok veľkosti Mathlibu, hlavnej formálnej matematickej knižnice tohto ekosystému.
• Dokázalo sa asi 30 000 stredných viet; zhruba 29 500 z nich je použitých v konečnom argumente.
• Kompilácia úložiska na 96-jadrovom stroji trvá asi 20-krát dlhšie ako kompilácia Mathlibu. Buzzard dostal na overenie server s 500 GB RAM.
• Celá vec spočíva na troch štandardných Leanových axiómach – žiadne „zjednodušujúce predpoklady“.

Kevin Buzzard – matematik, ktorý vedie komunitný projekt formalizácie FLT od roku 2024 – si stiahol úložisko, postavil ho a spustil komparátor: záverečné vyhlásenie vety sa zhoduje s referenčným výrokom v Mathlibe a každá kontrola prejde. Jeho verdikt: "mimoriadny úspech autoformalizácie."

Jedna poznámka na okraj, tri a pol storočia práce

Okolo roku 1637 napísal Pierre de Fermat na okraj Diophantusovej Aritmetiky tvrdenie: pre n väčšie ako dva nemá rovnica aⁿ + bⁿ = cⁿ žiadne riešenia v kladných celých číslach. Pod ním riadok, ktorý sa stal legendou: "Objavil som o tom skutočne úžasný dôkaz, ktorý je príliš úzky na to, aby ho obsiahol." Celé generácie matematikov, od Eulera po Kummera, z neho odštiepili kúsky. V roku 1908 bola vyhlásená cena 100 000 zlatých mariek za dôkaz – a len v prvom roku prišlo 621 nesprávnych podaní.

V júni 1993 Andrew Wiles predstavil svoj dôkaz na sérii prednášok v Cambridge. O dva mesiace neskôr otázka rozhodcu odhalila medzeru v jednej z konštrukcií. Wiles strávil rok opravovaním, najprv sám a potom so svojím bývalým študentom Richardom Taylorom, takmer to vzdal a nakoniec 129-stranový článok vydal v roku 1995. Zostávala jedna „inžinierska“ otázka: mohol by byť vyrobený počítač, ktorý by to všetko potvrdil?

Nie nový dôkaz, ale nová schopnosť

Formalizácia nasleduje po výklade Wiles-Taylor argumentu z roku 1995 Darmon-Diamond-Taylor, ktorý prechádza Langlandsovou-Tunnellovou vetou a Ribetovým znižovaním úrovne. Myšlienka formalizácie Wilesa sa datuje do roku 2000, keď ju navrhol holandský počítačový vedec Jan Bergstra, ale donedávna to vyzeralo ako kariérna práca pre celú oblasť. Niektoré prípady – štvrtá mocnina, pravidelné prvočísla – už boli prenesené na Lean. S novým úložiskom je Wiedijkov zoznam 100 formalizačných výziev, dvadsať rokov starý benchmark tejto oblasti, úplne uzavretý.

Buzzard je úprimný v samotnej matematike: formálne nám práca nehovorí nič nové – už Wilesovi veril. Hodnota je niekde inde. Overenie čerstvej písomky z matematiky dnes trvá mesiace alebo roky; ak stroj dokáže formalizovať dôkaz za chodu, začnú sa objavovať zmenšeniny recenzií a skryté predpoklady typu „známy odborníkom“. Pre disciplínu postavenú na čestnosti jej záverov je to vážny posun.

Ako vyzeralo tých 11 dní zvnútra

Prácu viedol Tianyi Peng, antropický výskumník, ktorý predtým vytvoril skupinu nástrojov na formalizáciu AI na Kolumbijskej univerzite. Hovorí, že najprv nikdy neplánoval dôjsť do cieľa – chcel len vidieť, ako ďaleko dokáže Claude posunúť Buzzardov projekt. Tlačilo to celú cestu.

Mnoho agentov pracovalo paralelne: niektorí vypĺňali matematické definície, iní útočili na stredné lemmy, iní šplhali po strome teorémov a ďalší zase skladali časti do jedného argumentu. Prvé dni išli bokom — agenti stratili prehľad o celkovom stave projektu a len asi sedem percent prvých pokusov prežilo do finálneho kódu. Zlom nastal, keď sa tím presunul na platformu s názvom Prove2Me: dôkaz tam žije ako graf uzlov teorémov, takže kedykoľvek môžete vidieť, čo je dokázané, čo čaká na predpoklady a na čo útočiť ďalej. Výroky sú oddelené od dôkazov, kompilácia je zrýchlená a každá veta nesie textový popis na vyhľadávanie. Rozsah: približne šesť miliárd výstupných tokenov s ľudským vstupom obmedzeným na rady na vysokej úrovni ako „tento smer má prioritu“.

Kde hľadať

Úložisko je na GitHub – overenie môžete spustiť sami, ak nájdete 96-jadrový stroj a trochu trpezlivosti. Primárne zdroje:Antropický zápisaBuzzardov príspevokna blogu Xena Project.

A ak vás príbeh o 13 miliónoch riadkov prinúti byť zvedavý, ako moderné modely zvládajú menšie úlohy – algoritmy, kód, výpočty – vyskúšajtekódaChatsekcií na NeuralSpace, alebo pripojte modely k vašim vlastným projektom cez API.