Claude zamknął Fermat w 11 dni: 13,4 miliona linii Lean i zero „to oczywiste”

4 września firma Anthropic ogłosiła pierwszy kompletny, sprawdzony komputerowo dowód Ostatniego Twierdzenia Fermata. Claude spędził 11 dni — prawie bez pomocy człowieka — na tłumaczeniu dowodu Andrew Wilesa na język Lean: 13,4 miliona linii kodu, około 30 000 pośrednich twierdzeń i nigdzie ani jednego stwierdzenia „to oczywiste”. Projekt, który matematycy planowali przez lata – plan tylko pierwszej fazy, napisany przez Kevina Buzzarda z Imperial College w Londynie i liczy 86 stron – został ukończony w niecałe dwa tygodnie.

Wyjaśnijmy sobie, co się nie stało: nie ma nowego dowodu. Model nie znalazł własnej drogi do twierdzenia. Zrobił coś prawdopodobnie trudniejszego — wziął napisany przez człowieka dowód, pełen wyrażeń takich jak „to trywialnie wynika”, i przepisał go tak, aby kompilator weryfikował każdy krok. Od 1995 roku matematycy są pewni argumentu Wilesa na 99,9%. Teraz pewność jest całkowita: Lean odtworzył cały łańcuch rozumowania na podstawie trzech standardowych aksjomatów Leana.

Co dokładnie sprawdzał komputer

Liczby sprawdzają się tutaj lepiej niż przymiotniki.

• 13,4 miliona wierszy Lean — ponad pięciokrotnie więcej niż Mathlib, flagowa biblioteka formalno-matematyczna tego ekosystemu.
• Udowodniono około 30 000 twierdzeń pośrednich; w ostatnim argumencie wykorzystano około 29 500 z nich.
• Kompilacja repozytorium na maszynie 96-rdzeniowej zajmuje około 20 razy dłużej niż kompilacja Mathliba. Buzzard dostał do weryfikacji serwer z 500 GB RAM.
• Całość opiera się na trzech standardowych aksjomatach Leana – żadnych „upraszczających założeń”.

Kevin Buzzard — matematyk, który od 2024 r. prowadzi społecznościowy projekt formalizacji FLT — pobrał repozytorium, zbudował je i uruchomił komparator: końcowe twierdzenie odpowiada twierdzeniu referencyjnemu w programie Mathlib i każda kontrola kończy się pomyślnie. Jego werdykt: „niezwykłe osiągnięcie w zakresie autoformalizacji”.

Jedna notatka na marginesie, trzy i pół wieku pracy

Około 1637 roku Pierre de Fermat zapisał na marginesie Arithmetica Diofantusa stwierdzenie: dla n większych niż dwa równanie aⁿ + bⁿ = cⁿ nie ma rozwiązań w liczbach całkowitych dodatnich. Poniżej wiersz, który stał się legendą: „Odkryłem na to naprawdę wspaniały dowód, którego ten margines jest zbyt wąski, aby go pomieścić”. Pokolenia matematyków, od Eulera po Kummera, odłupywały jego fragmenty. W 1908 roku ogłoszono nagrodę w wysokości 100 000 marek w złocie za dowód, a tylko w pierwszym roku napłynęło 621 błędnych zgłoszeń.

W czerwcu 1993 roku Andrew Wiles przedstawił swój dowód podczas serii wykładów w Cambridge. Dwa miesiące później pytanie sędziego ujawniło lukę w jednej z konstrukcji. Wiles spędził rok na łataniu tego, najpierw sam, a potem ze swoim byłym studentem Richardem Taylorem, był bliski poddania się i ostatecznie opublikował 129-stronicowy artykuł w 1995 r. Pozostało jedno pytanie „inżynierskie”: czy można zbudować komputer, który mógłby to wszystko potwierdzić?

Nie nowy dowód, ale nowa możliwość

Formalizacja jest zgodna z ekspozycją Darmona – Diamonda – Taylora z 1995 r. na temat argumentu Wilesa – Taylora, przechodząc przez twierdzenie Langlandsa – Tunnella i obniżenie poziomu Ribeta. Pomysł sformalizowania Wiles sięga pierwszej dekady XXI wieku, kiedy zaproponował go holenderski informatyk Jan Bergstra, ale do niedawna wydawało się, że jest to praca warta kariery w całej dziedzinie. Niektóre przypadki — czwarta potęga, zwykłe liczby pierwsze — zostały już przeniesione do Lean. Dzięki nowemu repozytorium lista 100 wyzwań formalizacyjnych autorstwa Wiedijka, stanowiąca dwudziestoletni punkt odniesienia w tym obszarze, zostaje całkowicie zamknięta.

Buzzard szczerze mówi o samej matematyce: formalnie praca nie mówi nam nic nowego — już wierzył Wilesowi. Wartość leży gdzie indziej. Weryfikacja świeżej pracy z matematyki zajmuje dziś miesiące, a nawet lata; jeśli maszyna może sformalizować dowód na bieżąco, recenzja kurczy się i zaczynają wychodzić na jaw ukryte założenia odmiany „znanej ekspertom”. Dla dyscypliny opartej na uczciwości wniosków jest to poważna zmiana.

Jak te 11 dni wyglądało od środka

Pracami kierował Tianyi Peng, badacz antropiczny, który wcześniej stworzył grupę narzędzi do formalizacji sztucznej inteligencji na Uniwersytecie Columbia. Mówi, że na początku nie planował dotarcia do mety — chciał tylko zobaczyć, jak daleko Claude będzie w stanie popchnąć projekt Buzzarda. Pchnęło na całego.

Wielu agentów pracowało równolegle: niektórzy wypełniali definicje matematyczne, inni atakowali lematy pośrednie, jeszcze inni wspinali się po drzewie twierdzeń, a jeszcze inni ponownie składali elementy w jeden argument. Pierwsze dni nie poszły gładko — agenci stracili kontrolę nad ogólnym stanem projektu i tylko około siedem procent wczesnych prób przetrwało w ostatecznym kodzie. Punkt zwrotny nastąpił, gdy zespół przeniósł się na platformę o nazwie Prove2Me: dowód znajduje się tam w postaci wykresu węzłów twierdzeń, dzięki czemu w każdej chwili można zobaczyć, co zostało udowodnione, co czeka na warunki wstępne i co należy zaatakować dalej. Twierdzenia oddzielono od dowodów, kompilacja została przyspieszona, a każde twierdzenie posiada opis tekstowy umożliwiający wyszukiwanie. Skala: około sześciu miliardów tokenów wyjściowych, przy czym wkład człowieka ogranicza się do wskazówek wysokiego poziomu, takich jak „ten kierunek ma priorytet”.

Gdzie szukać

Repozytorium znajduje się na GitHubie — możesz sam przeprowadzić weryfikację, jeśli znajdziesz 96-rdzeniową maszynę i trochę cierpliwości. Źródła pierwotne:Tekst AnthropicIPost Buzzardana blogu Xena Project.

A jeśli historia o 13 milionach linii zaciekawi Cię, jak współczesne modele radzą sobie z mniejszymi zadaniami — algorytmami, kodem, obliczeniami — wypróbujKodIPogawędzićsekcje w NeuralSpace lub podłącz modele do własnych projektów za pośrednictwem interfejsu API.