Claude sloot Fermat in 11 dagen: 13,4 miljoen regels Lean en nul 'het is duidelijk'

Op 4 september kondigde Anthropic het eerste volledige computergecontroleerde bewijs van de laatste stelling van Fermat aan. Claude besteedde elf dagen – bijna zonder menselijke hulp – aan het vertalen van het bewijs van Andrew Wiles in de Lean-taal: 13,4 miljoen regels code, ongeveer 30.000 tussenliggende stellingen, en geen enkele ‘het is vanaf hier duidelijk’ waar dan ook. Een project dat wiskundigen in jaren hadden begroot – de blauwdruk voor alleen de eerste fase, geschreven door Kevin Buzzard van het Imperial College London, beslaat 86 pagina’s – was in minder dan twee weken klaar.

Laten we duidelijk zijn over wat er niet is gebeurd: er is geen nieuw bewijs. Het model vond zijn eigen route naar de stelling niet. Het deed iets dat aantoonbaar moeilijker was: er was een door mensen geschreven bewijs voor nodig, vol zinnen als 'dit volgt triviaal', en het werd herschreven zodat een compiler elke afzonderlijke stap verifieerde. Wiskundigen zijn sinds 1995 voor 99,9% zeker van het argument van Wiles. Nu is het vertrouwen compleet: Lean heeft de hele redenering opnieuw gespeeld vanuit de drie standaardaxioma's van Lean.

Wat de computer precies heeft gecontroleerd

Getallen werken hier beter dan bijvoeglijke naamwoorden.

• 13,4 miljoen regels Lean – meer dan vijf keer zo groot als Mathlib, de vlaggenschipbibliotheek voor formele wiskunde van dit ecosysteem.
• Ongeveer 30.000 tussenliggende stellingen werden bewezen; ongeveer 29.500 daarvan worden gebruikt in het laatste betoog.
• Het compileren van de repository op een machine met 96 kernen duurt ongeveer 20 keer langer dan het compileren van Mathlib. Buzzard kreeg voor de verificatie een server met 500 GB RAM.
• Het geheel berust op de drie standaardaxioma's van Lean - geen 'vereenvoudigende aannames'.

Kevin Buzzard – de wiskundige die sinds 2024 het FLT-formalisatieproject van de gemeenschap leidt – heeft de repository gedownload, gebouwd en een comparator uitgevoerd: de uiteindelijke stellingverklaring komt overeen met de referentie in Mathlib, en elke controle slaagt. Zijn oordeel: "een buitengewone autoformaliseringsprestatie."

Eén kanttekening in de kantlijn, drie en een halve eeuw werk

Rond 1637 krabbelde Pierre de Fermat in de marge van Diophantus ' Arithmetica een bewering: voor n groter dan twee heeft de vergelijking aⁿ + bⁿ = cⁿ geen oplossingen in positieve gehele getallen. Daaronder de regel die een legende werd: "Ik heb hiervan een werkelijk schitterend bewijs ontdekt, waarvoor deze marge te smal is om te bevatten." Generaties wiskundigen, van Euler tot Kummer, hebben er stukjes van afgebroken. In 1908 werd een prijs van 100.000 goudmarken aangekondigd voor een proefdruk – en alleen al in het eerste jaar kwamen er 621 foutieve inzendingen binnen.

In juni 1993 presenteerde Andrew Wiles zijn bewijs tijdens een reeks lezingen in Cambridge. Twee maanden later bracht een vraag van een scheidsrechter een gat in een van de constructies aan het licht. Wiles besteedde er een jaar aan om het te patchen, eerst alleen en daarna met zijn voormalige student Richard Taylor. Hij gaf het bijna op en publiceerde uiteindelijk in 1995 het 129 pagina's tellende artikel. Er bleef nog één 'technische' vraag over: zou een computer gemaakt kunnen worden om dit allemaal te bevestigen?

Geen nieuw bewijs, maar een nieuwe mogelijkheid

De formalisering volgt op de Darmon-Diamond-Taylor-uitleg uit 1995 van het Wiles-Taylor-argument, waarbij de stelling van Langlands-Tunnell en de niveauverlaging van Ribet worden doorlopen. Het idee om Wiles te formaliseren dateert uit de jaren 2000, toen de Nederlandse computerwetenschapper Jan Bergstra het voorstelde, maar tot voor kort leek het een carrière vol werk voor een heel vakgebied. Sommige gevallen – de vierde macht, reguliere priemgetallen – waren al overgezet naar Lean. Met de nieuwe repository is Wiedijks lijst van 100 formaliseringsuitdagingen, de twintig jaar oude benchmark op dit gebied, volledig afgesloten.

Buzzard is eerlijk over de wiskunde zelf: formeel vertelt het werk ons ​​niets nieuws: hij geloofde Wiles al. De waarde ligt ergens anders. Het verifiëren van een nieuw wiskundeartikel duurt tegenwoordig maanden of jaren; als een machine een proefdruk in een handomdraai kan formaliseren, krimpt de beoordeling en komen verborgen aannames van de 'bij deskundigen bekende' variant naar boven. Voor een discipline die is gebouwd op de eerlijkheid van haar conclusies is dat een serieuze verschuiving.

Hoe die 11 dagen er van binnen uitzagen

Het werk werd geleid door Tianyi Peng, een antropisch onderzoeker die eerder een groep AI-formalisatietools bouwde aan de Columbia University. Hij zegt dat hij in eerste instantie nooit van plan was de finish te bereiken; hij wilde alleen maar zien hoe ver Claude het project van Buzzard kon pushen. Het duwde de hele weg.

Veel agenten werkten parallel: sommigen vulden wiskundige definities in, anderen vielen tussenliggende lemma's aan, weer anderen klommen in de boom der stellingen, en weer anderen brachten de stukken weer samen tot één enkel argument. De eerste dagen verliepen zijwaarts: agenten verloren de algehele status van het project uit het oog, en slechts ongeveer zeven procent van de eerste pogingen overleefde de uiteindelijke code. Het keerpunt kwam toen het team overstapte naar een platform genaamd Prove2Me: het bewijs leeft daar als een grafiek van stellingknooppunten, zodat je op elk moment kunt zien wat bewezen is, wat er op de vereisten wacht en wat je vervolgens moet aanvallen. Verklaringen worden gescheiden van bewijzen, de compilatie wordt versneld en elke stelling heeft een tekstbeschrijving voor zoeken. De schaal: ongeveer zes miljard outputtokens, waarbij de menselijke inbreng beperkt is tot hints op hoog niveau, zoals ‘deze richting heeft prioriteit’.

Waar te kijken

De repository bevindt zich op GitHub. Je kunt de verificatie zelf uitvoeren als je een machine met 96 kernen en wat geduld kunt vinden. Primaire bronnen:Het artikel van AnthropicEnHet bericht van Buizerdop de Xena Project-blog.

En als een verhaal van dertien miljoen regels je nieuwsgierig maakt hoe moderne modellen omgaan met kleinere taken (algoritmen, code, berekeningen), probeer dan deCodeEnChattensecties over NeuralSpace, of koppel de modellen via de API aan uw eigen projecten.