Claude menutup Fermat dalam masa 11 hari: 13.4 juta baris Lean dan sifar 'jelas'

Pada 4 September, Anthropic mengumumkan bukti lengkap pertama yang disemak komputer bagi Teorem Terakhir Fermat. Claude menghabiskan 11 hari — hampir tanpa bantuan manusia — menterjemah bukti Andrew Wiles ke dalam bahasa Lean: 13.4 juta baris kod, kira-kira 30,000 teorem perantaraan, dan tiada satu pun "ia jelas dari sini" di mana-mana sahaja. Seorang ahli matematik projek telah dianggarkan dalam beberapa tahun - pelan tindakan untuk fasa pertama sahaja, yang ditulis oleh Kevin Buzzard dari Imperial College London, mencapai 86 muka surat - selesai dalam masa kurang dari dua minggu.

Mari kita jelaskan tentang apa yang tidak berlaku: tidak ada bukti baru. Model tidak menemui laluan sendiri ke teorem. Ia melakukan sesuatu yang boleh dikatakan lebih sukar — ia memerlukan bukti bertulis manusia, penuh dengan frasa seperti "ini secara remeh mengikuti," dan menulisnya semula supaya pengkompil mengesahkan setiap langkah. Ahli matematik 99.9% yakin dengan hujah Wiles sejak 1995. Kini keyakinan itu lengkap: Lean memainkan semula keseluruhan rantaian penaakulan daripada tiga aksiom piawai Lean.

Apa sebenarnya yang diperiksa oleh komputer

Nombor berfungsi lebih baik daripada kata sifat di sini.

• 13.4 juta baris Lean — lebih lima kali ganda saiz Mathlib, perpustakaan matematik formal utama ekosistem ini.
• Kira-kira 30,000 teorem perantaraan telah dibuktikan; kira-kira 29,500 daripadanya digunakan dalam hujah terakhir.
• Menyusun repositori pada mesin 96 teras mengambil masa kira-kira 20 kali lebih lama daripada menyusun Mathlib. Buzzard mendapat pelayan dengan 500 GB RAM untuk pengesahan.
• Semuanya bergantung pada tiga aksiom standard Lean — tiada "andaian yang memudahkan."

Kevin Buzzard — ahli matematik yang telah menjalankan projek pemformalan FLT komuniti sejak 2024 — memuat turun repositori, membinanya dan menjalankan pembanding: pernyataan teorem akhir sepadan dengan rujukan dalam Mathlib, dan setiap cek lulus. Keputusannya: "pencapaian autoformalisasi yang luar biasa."

Satu nota margin, tiga setengah abad kerja

Sekitar tahun 1637, Pierre de Fermat mencoretkan dalam margin Arithmetica Diophantus satu tuntutan: untuk n lebih daripada dua, persamaan aⁿ + bⁿ = cⁿ tidak mempunyai penyelesaian dalam integer positif. Di bawahnya, garis yang menjadi legenda: "Saya telah menemui bukti yang benar-benar mengagumkan tentang ini, yang margin ini terlalu sempit untuk dibendung." Generasi ahli matematik, dari Euler hingga Kummer, telah memotongnya. Pada tahun 1908 hadiah 100,000 markah emas diumumkan sebagai bukti — dan 621 penyerahan yang salah tiba pada tahun pertama sahaja.

Pada Jun 1993 Andrew Wiles membentangkan buktinya dalam satu siri kuliah di Cambridge. Dua bulan kemudian soalan pengadil mendedahkan jurang dalam salah satu binaan. Wiles menghabiskan masa setahun menampalnya, mula-mula bersendirian dan kemudian dengan bekas pelajarnya Richard Taylor, hampir berputus asa, dan akhirnya menerbitkan kertas setebal 129 muka surat itu pada tahun 1995. Satu soalan "kejuruteraan" kekal: bolehkah komputer dibuat untuk mengesahkan kesemuanya?

Bukan bukti baru, tetapi keupayaan baru

Pembentukan itu mengikuti eksposisi Darmon–Diamond–Taylor 1995 tentang hujah Wiles–Taylor, melalui teorem Langlands–Tunnel dan penurunan tahap Ribet. Idea untuk memformalkan Wiles bermula pada tahun 2000-an, apabila saintis komputer Belanda Jan Bergstra mencadangkannya, tetapi sehingga baru-baru ini ia kelihatan seperti pekerjaan bernilai kerjaya untuk keseluruhan bidang. Sesetengah kes - kuasa keempat, bilangan prima biasa - telah dialihkan ke Lean. Dengan repositori baharu, senarai 100 cabaran pemformalan Wiedijk, penanda aras berusia dua puluh tahun bagi kawasan ini, ditutup sepenuhnya.

Buzzard jujur ​​tentang matematik itu sendiri: secara rasmi, kerja itu memberitahu kita tiada perkara baru — dia sudah mempercayai Wiles. Nilainya terletak di tempat lain. Mengesahkan kertas matematik baru hari ini mengambil masa berbulan-bulan atau bertahun-tahun; jika mesin boleh memformalkan bukti dengan cepat, ulasan mengecut, dan andaian tersembunyi tentang varieti "yang diketahui pakar" mula muncul. Untuk disiplin yang dibina atas kejujuran kesimpulannya, itu adalah anjakan yang serius.

Bagaimana rupa 11 hari itu dari dalam

Kerja ini diketuai oleh Tianyi Peng, seorang penyelidik Anthropic yang sebelum ini membina sekumpulan alat pemformalkan AI di Columbia University. Dia berkata dia tidak pernah merancang untuk sampai ke garisan penamat pada mulanya — dia hanya mahu melihat sejauh mana Claude boleh menolak projek Buzzard. Ia menolak sepanjang jalan.

Banyak ejen bekerja secara selari: ada yang mengisi takrif matematik, yang lain menyerang lema perantaraan, yang lain memanjat pokok teorem, dan yang lain menyusun semula kepingan itu menjadi satu hujah. Hari-hari pertama pergi ke tepi — ejen kehilangan jejak keadaan keseluruhan projek, dan hanya kira-kira tujuh peratus percubaan awal terselamat ke dalam kod akhir. Titik perubahan berlaku apabila pasukan berpindah ke platform yang dipanggil Prove2Me: bukti tinggal di sana sebagai graf nod teorem, jadi pada bila-bila masa anda boleh melihat apa yang dibuktikan, apa yang menunggu prasyarat, dan apa yang perlu diserang seterusnya. Pernyataan dipisahkan daripada bukti, penyusunan dipercepatkan, dan setiap teorem membawa penerangan teks untuk carian. Skala: sekitar enam bilion token keluaran, dengan input manusia terhad kepada petunjuk peringkat tinggi seperti "arah ini mempunyai keutamaan."

Mana nak cari

Repositori berada di GitHub — anda boleh menjalankan sendiri pengesahan jika anda boleh menemui mesin 96 teras dan sedikit kesabaran. Sumber utama:Tulisan Anthropicdansiaran Buzzarddi blog Projek Xena.

Dan jika cerita tentang 13 juta baris membuatkan anda ingin tahu bagaimana model moden mengendalikan tugas yang lebih kecil — algoritma, kod, pengiraan — cubaKoddanSembangbahagian pada NeuralSpace, atau sambungkan model ke projek anda sendiri melalui API.