Claude, 11일 만에 페르마의 정리 완결: Lean 1,340만 줄, "당연히"는 단 한 번도 없음

9월 4일, Anthropic은 페르마의 마지막 정리에 대한 최초의 완전한 기계 테스트를 선보였습니다. Claude 11일 만에 사람들의 도움 없이 Andrew Wiles의 증명을 언어로 번역했습니다. Lean: 1,340만 줄의 코드, 약 30,000개의 중간 정리, "말한 내용에서 명백한" 내용은 전혀 없습니다. 수학자들이 수년 동안 계획해 온 이 프로젝트는 런던 임페리얼 칼리지의 케빈 버자드(Kevin Buzzard)가 그린 첫 번째 단계 그림의 길이가 86페이지에 불과했지만 일주일 반 만에 완료되었습니다.

여기에 없는 것이 무엇인지 즉시 명확히 합시다. 새로운 증거는 없습니다. 모델은 정리에 대한 자체 경로를 제시하지 못했습니다. 그녀는 뭔가 다른 일을 했고, 솔직히 말해서 그다지 복잡하지도 않았습니다. 그녀는 모든 페이지에 "이것은 사소하게 따릅니다"와 같은 면책 조항이 있는 인간 증명을 가져와 컴파일러가 각 단계를 확인할 수 있도록 다시 작성했습니다. 1995년 이후 수학자들은 이 정리를 99.9% 확신했습니다. 이제 100% 갈 수 있습니다. Lean는 세 가지 표준 공리에서 파생된 전체 과정을 거쳤으며 더 이상 의심할 여지가 없습니다.

컴퓨터는 정확히 무엇을 확인했나요?

여기에는 별명보다 숫자가 더 적합합니다.

• Lean의 1,340만 라인은 시스템의 주요 공식 수학 라이브러리인 전체 Mathlib보다 5배 이상 더 큽니다.
• 약 30,000개의 중간 정리가 입증되었습니다. 최종 출력에는 약 29,500이 포함되었습니다.
• 96코어 시스템에서 리포지토리를 컴파일하는 데는 Mathlib을 컴파일하는 것보다 약 20배 정도 시간이 더 걸립니다. Buzzard에는 테스트 기간 동안 500GB RAM을 갖춘 서버가 제공되었습니다.
• 의존성은 세 가지 표준 공리 Lean에만 의존합니다. "단순성을 위한 가정"은 없습니다.

2024년부터 커뮤니티를 위한 Fermat 형식화 프로젝트를 주도해 온 수학자 Kevin Buzzard는 저장소를 다운로드하고 이를 조립하고 비교기를 실행했습니다. 정리의 출력 공식은 Mathlib의 참조 공식과 일치하며 모든 확인 항목은 녹색입니다. 그의 리뷰는 “자동 형식화의 놀라운 성과”입니다.

여백에 한 줄, 350년에 걸친 작업

1637년경 피에르 드 페르마(Pierre de Fermat)는 디오판투스의 산술(Arithmetic) 여백에 다음과 같은 진술을 넣었습니다. n이 2보다 큰 경우 방정식 aⁿ + bⁿ = cⁿ에는 자연수에는 해가 없습니다. 아래에는 전설이 된 문구가 있습니다. “정말 훌륭한 증거를 찾았지만 여백이 너무 좁습니다.” 오일러(Euler)에서 쿠머(Kummer)까지 여러 세대의 수학자들은 덩어리 단위로 결과를 향해 나아갔습니다. 1908년에는 증거를 위해 10만 골드 마르크의 상금이 수여되었으며, 첫 해에 621개의 잘못된 답이 접수되었습니다.

1993년 6월 Andrew Wiles는 캠브리지 강의 시리즈에서 자신의 증거를 발표했습니다. 두 달 후, 한 리뷰어가 디자인 중 하나에 구멍이 있다는 질문을 했습니다. 1년 동안 Wiles는 처음에는 혼자, 그 다음에는 이전 학생인 Richard Taylor와 함께 그것을 패치하여 모든 것을 포기할 위기에 처했고 1995년에 그는 129페이지 분량의 텍스트를 출판했습니다. 마지막 "엔지니어링" 질문이 남았습니다. 컴퓨터가 이 모든 것을 전체적으로 확인하도록 강제할 수 있습니까?

새로운 증거가 아닌 새로운 기회

이는 Langlands-Tunnell 정리와 Ribet 준위 하강을 통한 Wiles-Taylor 주장에 대한 Darmon, Diamond 및 Taylor의 1995년 분석을 기반으로 합니다. Wiles를 공식화하려는 아이디어는 2000년대 네덜란드 컴퓨터 과학자 Jan Bergstra에 의해 표명되었지만 최근까지 이것은 전체 과학 방향에 대한 작업으로 간주되었습니다. 개별 사례(4급, 일반 단순 사례)가 Lean로 이전되었습니다. 새로운 저장소를 사용하면 Weidik의 100개 공식화 작업 목록이 모두 닫힙니다. 이 영역을 비교한 벤치마크는 20년이 되었습니다.

그런데 Buzzard는 솔직하게 다음과 같이 썼습니다. 수학적으로 이 작업은 새로운 것을 드러내지 않습니다. 그는 이미 Wiles를 믿었습니다. 가치는 다른 곳에 있습니다. 새로운 수학 논문을 검토하는 데는 몇 달, 심지어 몇 년이 걸립니다. 기계에 즉석에서 증거를 공식화하도록 요청하면 동료 검토가 줄어들고 전문가 수준의 숨겨진 가정이 표면화되기 시작합니다. 모든 것이 결론의 정직성에 달려 있는 과학의 경우 이는 심각한 변화입니다.

그 11일의 내부 모습은 어땠나요?

이 작업은 이전에 컬럼비아 대학에서 AI 공식화 도구 그룹을 구성한 인류학 연구원인 Tianyi Peng이 주도했습니다. 그에 따르면 그는 처음에는 끝까지 도달할 계획이 없었습니다. 그는 단지 Claude가 Buzzard의 프로젝트를 얼마나 발전시킬지 보고 싶었을 뿐입니다. 결승으로 승격되었습니다.

많은 에이전트가 병렬로 작업했습니다. 일부는 완성된 수학적 정의, 다른 일부는 중간 정리를 습격하고 다른 일부는 정리 트리 위로 이동했으며 일부는 부품을 다시 단일 결론으로 ​​조립했습니다. 첫날에는 문제가 발생했습니다. 에이전트는 프로젝트의 전체 그림을 잃어버렸고 초기 시도의 약 7%가 최종 코드에 남아 있었습니다. 팀이 Prove2Me 플랫폼으로 이전했을 때 전환이 이루어졌습니다. 그 증거는 이미 입증된 내용, 대기 중인 전제 조건 및 다음에 취할 내용을 확인할 수 있는 정리 노드 그래프입니다. 진술이 증명과 분리되고, 편집 속도가 빨라지며, 각 정리에는 검색 가능한 텍스트 설명이 있습니다. 작업 규모는 약 60억 개의 출력 토큰이며, 인간의 프롬프트는 "이 방향이 우선이다"라는 높은 수준으로 축소되었습니다.

시청할 수 있는 곳

저장소는 GitHub에 게시되어 있습니다. 원하는 경우 96개의 코어와 강력한 신경을 갖춘 머신이 있으면 직접 검사를 실행할 수 있습니다. 주요 소스: Anthropic의 분석 그리고 버자드의 게시물 Xena 프로젝트 블로그에서.

그리고 1,300만 줄의 스토리를 마친 후 최신 모델이 알고리즘, 코드, 계산과 같은 작은 작업을 어떻게 처리하는지 알고 싶다면 해당 섹션을 살펴보세요. "암호" 그리고 "채팅" NeuralSpace에서 모델을 실험하고 API를 통해 프로젝트에 연결할 수 있습니다.