Claude je zatvorio Fermat u 11 dana: 13,4 milijuna redaka Lean i nula 'to je očito'

Dana 4. rujna, Anthropic je najavio prvi potpuni računalno provjeren dokaz Fermatovog posljednjeg teorema. Claude je proveo 11 dana — gotovo bez ljudske pomoći — prevodeći dokaz Andrewa Wilesa na Lean jezik: 13,4 milijuna redaka koda, otprilike 30 000 srednjih teorema, i nigdje niti jedan "očigledno je odavde". Projekt koji su matematičari planirali godinama - nacrt samo za prvu fazu, koji je napisao Kevin Buzzard s Imperial Collegea u Londonu, ima 86 stranica - dovršen je za manje od dva tjedna.

Razjasnimo što se nije dogodilo: nema novog dokaza. Model nije pronašao vlastiti put do teorema. Učinio je nešto nedvojbeno teže - uzeo je ljudski napisani dokaz, pun izraza poput "ovo trivijalno slijedi", i prepisao ga tako da kompilator provjerava svaki pojedini korak. Matematičari su bili 99,9% sigurni u Wilesov argument od 1995. Sada je povjerenje potpuno: Lean je ponovio cijeli lanac razmišljanja iz Leanova tri standardna aksioma.

Što je točno računalo provjerilo

Brojevi ovdje funkcioniraju bolje od pridjeva.

• 13,4 milijuna redaka Leana — više od pet puta veće od Mathliba, vodeće formalno-matematičke knjižnice ovog ekosustava.
• Dokazano je oko 30 000 srednjih teorema; otprilike 29 500 njih koristi se u završnom argumentu.
• Kompajliranje repozitorija na stroju s 96 jezgri traje oko 20 puta duže od kompajliranja Mathliba. Buzzard je za verifikaciju dobio server sa 500 GB RAM-a.
• Cijela stvar počiva na Leanova tri standardna aksioma — nema "pojednostavljenih pretpostavki".

Kevin Buzzard — matematičar koji vodi projekt FLT formalizacije zajednice od 2024. — preuzeo je repozitorij, izgradio ga i pokrenuo komparator: konačna izjava o teoremu odgovara referentnoj u Mathlibu i svaka provjera prolazi. Njegova presuda: "izvanredno postignuće autoformalizacije."

Jedna bilješka na margini, tri i pol stoljeća rada

Oko 1637., Pierre de Fermat nažvrljao je na margini Diofantove Arithmetice tvrdnju: za n veće od dva, jednadžba aⁿ + bⁿ = cⁿ nema rješenja u pozitivnim cijelim brojevima. Ispod njega, redak koji je postao legenda: "Otkrio sam doista čudesan dokaz za to, a ova margina je preuska da bi ga sadržavala." Generacije matematičara, od Eulera do Kummera, odvajale su njegove komadiće. Godine 1908. raspisana je nagrada od 100.000 zlatnih maraka za dokaz - a samo u prvoj godini stigla je 621 pogrešna prijava.

U lipnju 1993. Andrew Wiles predstavio je svoj dokaz u nizu predavanja u Cambridgeu. Dva mjeseca kasnije pitanje suca razotkrilo je prazninu u jednoj od konstrukcija. Wiles je proveo godinu dana krpajući ga, prvo sam, a zatim sa svojim bivšim studentom Richardom Taylorom, bio je blizu odustajanja i konačno objavio rad od 129 stranica 1995. Ostalo je jedno "inženjersko" pitanje: može li se napraviti računalo da sve to potvrdi?

Nije novi dokaz, već nova sposobnost

Formalizacija slijedi Darmon–Diamond–Taylor izlaganje argumenta Wiles–Taylor iz 1995., prolazeći kroz Langlands–Tunnellov teorem i Ribetovo snižavanje razine. Ideja o formaliziranju Wilesa datira još iz 2000-ih, kada ju je predložio nizozemski informatičar Jan Bergstra, ali donedavno je izgledalo kao posao vrijedan karijere za cijelo jedno područje. Neki slučajevi - četvrta potencija, obični prosti brojevi - već su bili preneseni na Lean. S novim repozitorijem, Wiedijkov popis od 100 formalizacijskih izazova, dvadeset godina staro mjerilo ovog područja, potpuno je zatvoren.

Buzzard je iskren o samoj matematici: formalno, rad nam ne govori ništa novo - već je vjerovao Wilesu. Vrijednost je negdje drugdje. Provjera novog matematičkog rada danas traje mjesecima ili godinama; ako stroj može formalizirati dokaz u hodu, pregled se smanjuje i počinju izlaziti na površinu skrivene pretpostavke vrste "poznate stručnjacima". Za disciplinu izgrađenu na poštenju svojih zaključaka, to je ozbiljan pomak.

Kako je tih 11 dana izgledalo iznutra

Rad je vodio Tianyi Peng, anthropic istraživač koji je prethodno izgradio grupu alata za formalizaciju umjetne inteligencije na Sveučilištu Columbia. Kaže da isprva nije planirao doći do cilja — samo je želio vidjeti koliko daleko Claude može pogurati Buzzardov projekt. Gurao je do kraja.

Mnogi su agenti radili paralelno: neki su popunjavali matematičke definicije, drugi su napadali posredne leme, treći su se penjali po stablu teorema, a treći ponovno sastavljali dijelove u jedan argument. Prvi su dani prošli po strani — agenti su izgubili pojam o cjelokupnom stanju projekta, a samo oko sedam posto ranih pokušaja preživjelo je u konačnom kodu. Prekretnica se dogodila kada se tim preselio na platformu nazvanu Prove2Me: dokaz živi tamo kao graf čvorova teorema, tako da u svakom trenutku možete vidjeti što je dokazano, što čeka preduvjete i što napasti sljedeće. Izjave su odvojene od dokaza, kompilacija je ubrzana, a svaki teorem nosi tekstualni opis za pretraživanje. Mjerilo: oko šest milijardi izlaznih tokena, s ljudskim unosom ograničenim na savjete visoke razine poput "ovaj smjer ima prioritet".

Gdje tražiti

Repozitorij je na GitHubu — možete sami pokrenuti provjeru ako nađete stroj s 96 jezgri i malo strpljenja. Primarni izvori:Anthropicov zapisiBuzzardov postna blogu projekta Xena.

A ako vas priča o 13 milijuna redaka potakne znatiželjnim kako moderni modeli rješavaju manje zadatke — algoritme, kod, izračune — isprobajteKodiratiiRazgovorodjeljke na NeuralSpaceu ili povežite modele s vlastitim projektima putem API-ja.