Claude סגר את משפט פרמה ב-11 ימים: 13.4 מיליון שורות Lean ואף לא "ברור" אחד

ב-4 בספטמבר, אנתרופיק הראה את מבחן המכונה המלא הראשון אי פעם של המשפט האחרון של פרמה. Claude תוך 11 ימים, כמעט ללא עזרת אנשים, תרגם את ההוכחה של אנדרו ווילס לשפה Lean: 13.4 מיליון שורות קוד, כ-30 אלף משפטי ביניים, אפס "ברור ממה שנאמר". הפרויקט, שמתמטיקאים תכננו במשך שנים - רק הציור של השלב הראשון על ידי קווין באזרד מאימפריאל קולג' בלונדון היה באורך 86 עמודים - הושלם תוך שבוע וחצי.

נבהיר מיד מה אין כאן: אין ראיות חדשות. המודל לא מצא את הדרך שלו למשפט. היא עשתה משהו שונה, ולמען האמת, מורכבת לא פחות - היא לקחה הוכחה אנושית, שבה בכל עמוד יש הסתייגויות כמו "זה בא טריוויאלי", ושכתבה אותה מחדש כך שהמהדר בודק כל שלב. מתמטיקאים לאחר 1995 היו בטוחים במשפט ב-99.9%. עכשיו אתה יכול ללכת במאה אחוז: Lean עבר את כל הגזירה משלוש האקסיומות הסטנדרטיות, ואין יותר מה לפקפק.

מה בדיוק המחשב בדק?

מספרים מתאימים כאן יותר מכינויים.

• 13.4 מיליון השורות של Lean גדולים יותר מפי חמישה מכל Mathlib, ספריית המתמטיקה הפורמלית הראשית של המערכת.
• כ-30 אלף משפטי ביניים הוכחו; התפוקה הסופית כללה כ-29,500.
• הידור של מאגר במכונה בעלת 96 ליבות לוקח בערך פי 20 יותר מהידור של Mathlib. Buzzard קיבל שרת עם 500 GB של זיכרון RAM למשך הבדיקה.
• ההסתמכות היא רק על שלוש אקסיומות סטנדרטיות Lean. אין "הנחות לפשטות".

קווין באזרד, אותו מתמטיקאי שמוביל את פרויקט הפורמליזציה של Fermat עבור הקהילה מאז 2024, הוריד את המאגר, הרכיב אותו והפעיל את המשווה: ניסוח הפלט של המשפט עולה בקנה אחד עם ההתייחסות מ- Mathlib, כל הבדיקות ירוקות. סקירתו: "הישג יוצא דופן של פורמליזציה אוטומטית."

שורה אחת בשוליים, שלוש וחצי מאות שנים של עבודה

בסביבות 1637, פייר דה פרמה ייחס את האמירה בשולי האריתמטיקה של דיופנטוס: עבור n גדול משניים, למשוואה aⁿ + bⁿ = cⁿ אין פתרונות במספרים טבעיים. להלן משפט שהפך לאגדה: "מצאתי הוכחה נפלאה באמת, אבל השוליים צרים מדי בשבילה." דורות של מתמטיקאים מאולר ועד קאמר נעו לעבר התוצאה בחתיכות. בשנת 1908 הוענק פרס של 100 אלף סימני זהב עבור הוכחה, ובשנה הראשונה התקבלו 621 פתרונות שגויים.

ביוני 1993, אנדרו ווילס הציג את ההוכחה שלו בסדרת הרצאות בקיימברידג'. חודשיים לאחר מכן, מבקר שאל שאלה שחשפה חור באחד העיצובים. במשך שנה, ווילס תיקן את זה - תחילה לבד, אחר כך יחד עם הסטודנט לשעבר ריצ'רד טיילור - היה על סף לוותר על הכל, ובשנת 1995 הוא פרסם טקסט בן 129 עמודים. נותרה השאלה האחרונה, ה"הנדסית": האם ניתן להכריח את המחשב לאשר את כל זה בשלמותו?

לא הוכחה חדשה, אלא הזדמנות חדשה

הוא מבוסס על הניתוח של דרמון, דיימונד וטיילור משנת 1995 של טיעון ווילס-טיילור באמצעות משפט Langlands-Tunnell וירידה ברמת Ribet. הרעיון לפורמליזציה של ווילס הושמע עוד בשנות ה-2000 על ידי מדען המחשבים ההולנדי יאן ברגסטרה, אבל עד לאחרונה זה נחשב לעבודה עבור כיוון מדעי שלם. מקרים בודדים - דרגה רביעית, פשוטים רגילים - הועברו ל-Lean קודם לכן. עם המאגר החדש, כל רשימת 100 משימות הפורמליזציה של Weidik נסגרת: המדד מולו הושווה תחום זה הוא בן עשרים שנה.

באזארד, אגב, כותב בכנות: מבחינה מתמטית, העבודה לא חושפת שום דבר חדש - הוא כבר האמין בווילס. הערך נמצא במקום אחר. סקירת מאמר חדש במתמטיקה אורכת חודשים, או אפילו שנים; אם ניתן לבקש ממכונה ליצור הוכחה באופן רשמי, ביקורת עמיתים תצטמצם והנחות נסתרות ברמת המומחה יתחילו לצוץ. עבור המדע, שבו הכל נשען על כנות המסקנות, מדובר בשינוי רציני.

איך נראו 11 הימים האלה מבפנים

את העבודה הוביל טיאני פנג, חוקר אנתרופי שהרכיב בעבר קבוצה של כלי פורמליזציה של AI באוניברסיטת קולומביה. לדבריו, הוא בתחילה לא תכנן להגיע לסוף: הוא רק רצה לראות כמה Claude יקדם את הפרויקט של באזארד. עלתה לגמר.

סוכנים רבים עבדו במקביל: חלקם השלימו הגדרות מתמטיות, אחרים הסתערו על לממות ביניים, אחרים עלו במעלה עץ המשפט, ואחרים הרכיבו את החלקים בחזרה למסקנה אחת. הימים הראשונים השתבשו - הסוכנים איבדו את התמונה הכוללת של הפרויקט, וכשבעה אחוזים מהנסיונות המוקדמים נשארו בקוד הסופי. המהפך התרחש כשהצוות הועבר לפלטפורמת Prove2Me: ההוכחה בו היא גרף של צמתי משפט, שבו ניתן לראות מה כבר הוכח, מה מחכה לדרישות מוקדמות ומה לעשות הלאה. הצהרות מופרדות מהוכחות, הקומפילציה מואצת, ולכל משפט יש תיאור טקסט הניתן לחיפוש. היקף העבודה הוא כשישה מיליארד אסימוני פלט, וההנחיות האנושיות צומצמו לרמה גבוהה: "הכיוון הזה הוא בראש סדר העדיפויות".

איפה לצפות

המאגר פורסם ב- GitHub - אם תרצה, תוכל להריץ את הבדיקה בעצמך אם יש לך מכונה עם 96 ליבות ועצבים חזקים. מקורות ראשוניים: ניתוח מאנתרופיק ו הפוסט של Buzzard בבלוג Xena Project.

ואם, אחרי סיפור עם 13 מיליון שורות, אתה רוצה לראות איך מודלים מודרניים מתמודדים עם משימות קטנות יותר - אלגוריתמים, קוד, חישובים - תסתכל על הסעיפים "קוד" ו "לְשׂוֹחֵחַ" ב-NeuralSpace: שם תוכל להתנסות במודלים ולחבר אותם לפרויקטים שלך דרך ה-API.