Ο Claude έκλεισε το Fermat σε 11 ημέρες: 13,4 εκατομμύρια γραμμές Lean και μηδέν «είναι προφανές»

Στις 4 Σεπτεμβρίου, η Anthropic ανακοίνωσε την πρώτη πλήρη απόδειξη του Τελευταίου Θεωρήματος του Φερμά, ελεγμένη από υπολογιστή. Ο Claude πέρασε 11 ημέρες - σχεδόν χωρίς ανθρώπινη βοήθεια - μεταφράζοντας την απόδειξη του Andrew Wiles στη γλώσσα Lean: 13,4 εκατομμύρια γραμμές κώδικα, περίπου 30.000 ενδιάμεσα θεωρήματα και ούτε ένα "είναι προφανές από εδώ" πουθενά. Ένα έργο που είχαν προϋπολογίσει οι μαθηματικοί εδώ και χρόνια - το σχέδιο μόνο για την πρώτη φάση, που γράφτηκε από τον Kevin Buzzard του Imperial College του Λονδίνου, έχει 86 σελίδες - ολοκληρώθηκε σε λιγότερο από δύο εβδομάδες.

Ας ξεκαθαρίσουμε τι δεν συνέβη: δεν υπάρχει νέα απόδειξη. Το μοντέλο δεν βρήκε τη δική του διαδρομή προς το θεώρημα. Έκανε κάτι αναμφισβήτητα πιο δύσκολο - χρειάστηκε μια ανθρώπινη γραπτή απόδειξη, γεμάτη φράσεις όπως "αυτό ακολουθεί ασήμαντα", και το ξαναέγραψε έτσι ώστε ένας μεταγλωττιστής να επαληθεύει κάθε βήμα. Οι μαθηματικοί είναι 99,9% σίγουροι για το επιχείρημα του Wiles από το 1995. Τώρα η σιγουριά έχει ολοκληρωθεί: ο Lean επανέλαβε ολόκληρη την αλυσίδα συλλογισμών από τα τρία τυπικά αξιώματα του Lean.

Τι ακριβώς έλεγξε ο υπολογιστής

Οι αριθμοί λειτουργούν καλύτερα από τα επίθετα εδώ.

• 13,4 εκατομμύρια γραμμές Lean — περισσότερο από πέντε φορές το μέγεθος της Mathlib, της ναυαρχίδας επίσημης μαθηματικής βιβλιοθήκης αυτού του οικοσυστήματος.
• Αποδείχθηκαν περίπου 30.000 ενδιάμεσα θεωρήματα. περίπου 29.500 από αυτά χρησιμοποιούνται στο τελικό επιχείρημα.
• Η μεταγλώττιση του αποθετηρίου σε μια μηχανή 96 πυρήνων διαρκεί περίπου 20 φορές περισσότερο από τη μεταγλώττιση του Mathlib. Ο Buzzard έλαβε έναν διακομιστή με 500 GB μνήμης RAM για την επαλήθευση.
• Το όλο θέμα βασίζεται στα τρία τυπικά αξιώματα του Lean - χωρίς "απλοποιητικές υποθέσεις".

Ο Kevin Buzzard — ο μαθηματικός που εκτελεί το έργο επισημοποίησης FLT της κοινότητας από το 2024 — κατέβασε το αποθετήριο, το κατασκεύασε και έτρεξε έναν συγκριτικό: η πρόταση τελικού θεωρήματος ταιριάζει με την αναφορά στο Mathlib και κάθε έλεγχος περνάει. Η ετυμηγορία του: «ένα εξαιρετικό επίτευγμα αυτοεπισημοποίησης».

Ένα σημείωμα περιθωρίου, τρεισήμισι αιώνες δουλειάς

Γύρω στο 1637, ο Pierre de Fermat έγραψε στο περιθώριο του Arithmetica του Διόφαντου έναν ισχυρισμό: για n μεγαλύτερο από δύο, η εξίσωση aⁿ + bⁿ = cⁿ δεν έχει λύσεις σε θετικούς ακέραιους αριθμούς. Κάτω από αυτό, η γραμμή που έγινε θρύλος: "Ανακάλυψα μια πραγματικά θαυμάσια απόδειξη γι' αυτό, την οποία αυτό το περιθώριο είναι πολύ στενό για να περιέχει." Γενιές μαθηματικών, από τον Όιλερ μέχρι τον Κούμερ, έσπασαν κομμάτια του. Το 1908 ανακοινώθηκε ένα έπαθλο 100.000 χρυσών μάρκων για απόδειξη — και 621 λανθασμένες υποβολές έφτασαν μόνο τον πρώτο χρόνο.

Τον Ιούνιο του 1993 ο Andrew Wiles παρουσίασε την απόδειξη του σε μια σειρά διαλέξεων στο Cambridge. Δύο μήνες αργότερα, η ερώτηση ενός διαιτητή αποκάλυψε ένα κενό σε μία από τις κατασκευές. Ο Wiles πέρασε ένα χρόνο για να το διορθώσει, πρώτα μόνος του και μετά με τον πρώην μαθητή του Ρίτσαρντ Τέιλορ, κόντεψε να τα παρατήσει και τελικά δημοσίευσε το έγγραφο 129 σελίδων το 1995. Ένα ερώτημα «μηχανικής» παρέμενε: θα μπορούσε να κατασκευαστεί ένας υπολογιστής για να τα επιβεβαιώσει όλα;

Όχι μια νέα απόδειξη, αλλά μια νέα ικανότητα

Η επισημοποίηση ακολουθεί την έκθεση Darmon–Diamond–Taylor του 1995 του επιχειρήματος Wiles–Taylor, περνώντας από το θεώρημα Langlands–Tunnell και τη μείωση του επιπέδου του Ribet. Η ιδέα της επισημοποίησης του Wiles χρονολογείται από τη δεκαετία του 2000, όταν την πρότεινε ο Ολλανδός επιστήμονας υπολογιστών Jan Bergstra, αλλά μέχρι πρόσφατα έμοιαζε με δουλειά που αξίζει μια καριέρα για έναν ολόκληρο τομέα. Ορισμένες περιπτώσεις - η τέταρτη δύναμη, κανονικοί πρώτοι - είχαν ήδη μεταφερθεί στο Lean. Με το νέο αποθετήριο, η λίστα με τις 100 προκλήσεις επισημοποίησης του Wiedijk, το εικοσάχρονο σημείο αναφοράς αυτής της περιοχής, έχει κλείσει πλήρως.

Ο Buzzard είναι ειλικρινής σχετικά με τα ίδια τα μαθηματικά: τυπικά, το έργο δεν μας λέει τίποτα καινούργιο - πίστευε ήδη τον Wiles. Η αξία βρίσκεται αλλού. Η επαλήθευση μιας νέας εργασίας μαθηματικών σήμερα διαρκεί μήνες ή χρόνια. εάν ένα μηχάνημα μπορεί να επισημοποιήσει μια απόδειξη εν κινήσει, η αναθεώρηση συρρικνώνεται και κρυφές υποθέσεις της ποικιλίας "γνωστών στους ειδικούς" αρχίζουν να εμφανίζονται. Για μια πειθαρχία που βασίζεται στην ειλικρίνεια των συμπερασμάτων της, αυτή είναι μια σοβαρή αλλαγή.

Πώς έμοιαζαν εκείνες οι 11 μέρες από μέσα

Επικεφαλής της εργασίας ήταν ο Tianyi Peng, ένας ερευνητής Anthropic, ο οποίος προηγουμένως δημιούργησε μια ομάδα εργαλείων τυποποίησης AI στο Πανεπιστήμιο Columbia. Λέει ότι δεν σχεδίαζε ποτέ να φτάσει στη γραμμή τερματισμού στην αρχή - ήθελε απλώς να δει πόσο μακριά θα μπορούσε ο Claude να ωθήσει το έργο του Buzzard. Έσπρωχνε μέχρι τέρμα.

Πολλοί πράκτορες δούλευαν παράλληλα: κάποιοι συμπλήρωσαν μαθηματικούς ορισμούς, άλλοι επιτέθηκαν σε ενδιάμεσα λήμματα, άλλοι σκαρφάλωσαν στο δέντρο των θεωρημάτων και άλλοι ξανά συγκέντρωσαν τα κομμάτια σε ένα μόνο επιχείρημα. Οι πρώτες μέρες πήγαν στο πλάι - οι πράκτορες έχασαν την εικόνα της συνολικής κατάστασης του έργου και μόνο περίπου το επτά τοις εκατό των πρώτων προσπαθειών επιβίωσαν στον τελικό κώδικα. Το σημείο καμπής ήρθε όταν η ομάδα μετακόμισε σε μια πλατφόρμα που ονομάζεται Prove2Me: η απόδειξη ζει εκεί ως ένα γράφημα των κόμβων θεωρημάτων, έτσι ανά πάσα στιγμή μπορείτε να δείτε τι αποδεικνύεται, τι περιμένει τις προϋποθέσεις και τι να επιτεθεί στη συνέχεια. Οι δηλώσεις διαχωρίζονται από τις αποδείξεις, η μεταγλώττιση επιταχύνεται και κάθε θεώρημα περιέχει μια περιγραφή κειμένου για αναζήτηση. Η κλίμακα: περίπου έξι δισεκατομμύρια μάρκες εξόδου, με ανθρώπινη συμβολή περιορισμένη σε υποδείξεις υψηλού επιπέδου όπως "αυτή η κατεύθυνση έχει προτεραιότητα".

Πού να κοιτάξουμε

Το αποθετήριο βρίσκεται στο GitHub — μπορείτε να εκτελέσετε την επαλήθευση μόνοι σας εάν μπορείτε να βρείτε μια μηχανή 96 πυρήνων και λίγη υπομονή. Πρωτογενείς πηγές:Η συγγραφή του AnthropicκαιΗ ανάρτηση του Buzzardστο ιστολόγιο Xena Project.

Και αν μια ιστορία με 13 εκατομμύρια γραμμές σας κάνει να περιεργάζεστε πώς τα σύγχρονα μοντέλα χειρίζονται μικρότερες εργασίες —αλγόριθμους, κώδικα, υπολογισμούς— δοκιμάστε τοΚώδικαςκαιΚουβένταενότητες στο NeuralSpace ή συνδέστε τα μοντέλα στα δικά σας έργα μέσω του API.