Claude schließt Fermat in 11 Tagen ab: 13,4 Millionen Zeilen Lean und kein einziges „offensichtlich“

Am 4. September zeigte Anthropic den ersten vollständigen maschinellen Test von Fermats letztem Satz. Claude übersetzte in 11 Tagen, fast ohne die Hilfe von Menschen, den Beweis von Andrew Wiles in die Sprache Lean: 13,4 Millionen Codezeilen, etwa 30.000 Zwischensätze, null „offensichtlich aus dem Gesagten“. Das von Mathematikern seit Jahren geplante Projekt – allein die Zeichnung der ersten Phase von Kevin Buzzard vom Imperial College London war 86 Seiten lang – wurde in anderthalb Wochen abgeschlossen.

Lassen Sie uns gleich klarstellen, was hier nicht steht: Es gibt keine neuen Beweise. Das Modell hat keinen eigenen Weg zum Theorem gefunden. Sie hat etwas anderes gemacht, und ehrlich gesagt, nicht weniger komplex: Sie hat einen menschlichen Beweis erstellt, bei dem auf jeder Seite Haftungsausschlüsse wie „Das folgt trivial“ stehen, und ihn so umgeschrieben, dass der Compiler jeden Schritt überprüft. Mathematiker waren nach 1995 zu 99,9 % von dem Satz überzeugt. Jetzt kann es hundertprozentig gehen: Lean hat die gesamte Ableitung aus den drei Standardaxiomen durchlaufen, und es gibt nichts mehr zu bezweifeln.

Was genau hat der Computer überprüft?

Zahlen sind hier passender als Beinamen.

• Die 13,4 Millionen Zeilen von Lean sind mehr als fünfmal größer als die gesamte Mathlib, die wichtigste formale Mathematikbibliothek des Systems.
• Etwa 30.000 Zwischensätze wurden bewiesen; Die Endproduktion umfasste etwa 29.500.
• Das Kompilieren eines Repositorys auf einem 96-Core-Computer dauert etwa 20-mal länger als das Kompilieren von Mathlib. Für die Dauer des Tests wurde Buzzard ein Server mit 500 GB RAM zur Verfügung gestellt.
• Man verlässt sich nur auf drei Standardaxiome Lean. Keine „Annahmen der Einfachheit halber“.

Kevin Buzzard, derselbe Mathematiker, der seit 2024 das Fermat-Formalisierungsprojekt für die Community leitet, hat das Repository heruntergeladen, zusammengestellt und den Komparator ausgeführt: Die Ausgabeformulierung des Theorems stimmt mit der Referenzformulierung von Mathlib überein, alle Prüfungen sind grün. Seine Rezension: „Eine außergewöhnliche Leistung der Autoformalisierung.“

Eine Zeile am Rand, dreieinhalb Jahrhunderte Arbeit

Um 1637 schrieb Pierre de Fermat die Aussage am Rande der Arithmetik von Diophantus zu: Für n größer als zwei hat die Gleichung aⁿ + bⁿ = cⁿ keine Lösungen in natürlichen Zahlen. Unten ist ein Satz, der zur Legende geworden ist: „Ich habe einen wirklich wunderbaren Beweis gefunden, aber die Ränder sind zu eng dafür.“ Generationen von Mathematikern von Euler bis Kummer näherten sich dem Ergebnis in kleinen Stücken. Im Jahr 1908 wurde für den Beweis ein Preisgeld von 100.000 Goldmark ausgelobt, im ersten Jahr gingen 621 falsche Lösungen ein.

Im Juni 1993 präsentierte Andrew Wiles seinen Beweis in einer Vortragsreihe in Cambridge. Zwei Monate später stellte ein Rezensent eine Frage, die ein Loch in einem der Designs enthüllte. Ein Jahr lang hat Wiles daran geflickt – zunächst allein, dann zusammen mit dem ehemaligen Studenten Richard Taylor – war kurz davor, alles aufzugeben, und veröffentlichte 1995 einen 129-seitigen Text. Die letzte „technische“ Frage blieb bestehen: Ist es möglich, den Computer zu zwingen, dies alles in seiner Gesamtheit zu bestätigen?

Kein neuer Beweis, sondern eine neue Chance

Es basiert auf der Analyse des Wiles-Taylor-Arguments durch Darmon, Diamond und Taylor aus dem Jahr 1995 anhand des Langlands-Tunnell-Theorems und des Ribet-Level-Abstiegs. Die Idee, Wiles zu formalisieren, wurde bereits in den 2000er Jahren vom niederländischen Informatiker Jan Bergstra geäußert, aber bis vor kurzem galt dies als Arbeit für eine ganze wissenschaftliche Richtung. Einzelfälle – vierter Grad, reguläre einfache Fälle – wurden auf Lean früher verschoben. Mit dem neuen Repositorium ist Weidiks gesamte Liste von 100 Formalisierungsaufgaben abgeschlossen: Der Maßstab, mit dem dieser Bereich verglichen wurde, ist zwanzig Jahre alt.

Buzzard schreibt übrigens ehrlich: Mathematisch gesehen verrät die Arbeit nichts Neues – er glaubte bereits an Wiles. Der Wert liegt woanders. Die Durchsicht eines neuen Artikels in Mathematik dauert Monate oder sogar Jahre; Wenn eine Maschine aufgefordert werden kann, einen Beweis im Handumdrehen zu formalisieren, wird die Begutachtung durch Fachkollegen kleiner und versteckte Annahmen auf Expertenebene werden ans Licht kommen. Für die Wissenschaft, in der alles auf der Ehrlichkeit der Schlussfolgerungen beruht, ist dies ein gravierender Wandel.

Wie diese 11 Tage von innen aussahen

Die Arbeit wurde von Tianyi Peng geleitet, einem Anthropic-Forscher, der zuvor an der Columbia University eine Gruppe von KI-Formalisierungstools zusammengestellt hatte. Ihm zufolge hatte er zunächst nicht vor, das Ende zu erreichen: Er wollte nur sehen, wie sehr Claude Buzzards Projekt voranbringen würde. Aufstieg ins Finale.

Viele Agenten arbeiteten parallel: Einige vervollständigten mathematische Definitionen, andere stürmten Zwischenlemmas, andere bewegten sich im Theorembaum nach oben und wieder andere fügten die Teile wieder zu einer einzigen Schlussfolgerung zusammen. Die ersten Tage gingen schief – die Agenten verloren den Gesamtüberblick über das Projekt und etwa sieben Prozent der ersten Versuche verblieben im endgültigen Code. Die Wende erfolgte, als das Team auf die Prove2Me-Plattform übertragen wurde: Der Beweis darin ist ein Diagramm von Theoremknoten, in dem Sie sehen können, was bereits bewiesen wurde, was auf Voraussetzungen wartet und was als nächstes zu tun ist. Aussagen werden von Beweisen getrennt, die Kompilierung wird beschleunigt und jeder Satz verfügt über eine durchsuchbare Textbeschreibung. Der Umfang der Arbeit beträgt etwa sechs Milliarden ausgegebene Token, und die menschlichen Anweisungen wurden auf ein hohes Niveau reduziert: „Diese Richtung hat Priorität.“

Wo zu sehen

Das Repository ist auf GitHub veröffentlicht – wenn Sie möchten, können Sie den Check auch selbst durchführen, wenn Sie eine Maschine mit 96 Kernen und starken Nerven haben. Primärquellen: Analyse von Anthropic Und Buzzards Beitrag auf dem Xena-Projekt-Blog.

Und wenn Sie nach einer Geschichte mit 13 Millionen Zeilen sehen möchten, wie moderne Modelle kleinere Aufgaben – Algorithmen, Code, Berechnungen – bewältigen, schauen Sie sich die Abschnitte an "Code" Und „Chatten“ auf NeuralSpace: Dort können Sie mit Modellen experimentieren und diese über die API mit Ihren Projekten verbinden.