Claude uzavřel Fermat za 11 dní: 13,4 milionu řádků Lean a nula „to je zřejmé“
4. září společnost Anthropic oznámila první kompletní počítačově zkontrolovaný důkaz Fermatova posledního teorému. Claude strávil 11 dní – téměř bez lidské pomoci – překládáním důkazu Andrewa Wilese do štíhlého jazyka: 13,4 milionu řádků kódu, zhruba 30 000 středních teorémů a nikde ani jediné „odsud je to zřejmé“. Projekt, který měli matematici v rozpočtu na roky – plán pouze pro první fázi, který napsal Kevin Buzzard z Imperial College London, má 86 stran – byl dokončen za méně než dva týdny.
Ujasněme si, co se nestalo: neexistuje žádný nový důkaz. Model nenašel vlastní cestu k teorému. Udělalo to něco pravděpodobně těžšího – vzalo to člověkem psaný důkaz plný frází jako „toto triviálně následuje“ a přepsalo to tak, aby kompilátor ověřil každý jednotlivý krok. Od roku 1995 si byli matematici jistí Wilesovým argumentem na 99,9 %. Nyní je důvěra úplná: Lean přehrál celý řetězec uvažování ze tří Leanových standardních axiomů.
Co přesně počítač kontroloval
Čísla zde fungují lépe než přídavná jména.
- 13,4 milionů řádků Lean – více než pětkrát větší než Mathlib, vlajková loď formálně-matematické knihovny tohoto ekosystému.
- Bylo dokázáno asi 30 000 středních vět; zhruba 29 500 z nich je použito v závěrečné argumentaci.
- Kompilace úložiště na 96jádrovém stroji trvá asi 20krát déle než kompilace Mathlibu. Buzzard pro ověření dostal server s 500 GB RAM.
- Celá věc spočívá na Leanových třech standardních axiomech – žádné „zjednodušující předpoklady“.
Kevin Buzzard – matematik, který od roku 2024 vede komunitní projekt formalizace FLT – si stáhl úložiště, postavil jej a spustil komparátor: závěrečné tvrzení teorému odpovídá referenčnímu v Mathlibu a každá kontrola projde. Jeho verdikt: "mimořádný autoformalizační úspěch."
Jedna poznámka na okraj, tři a půl století práce
Kolem roku 1637 napsal Pierre de Fermat na okraj Diophantovy Arithmetiky tvrzení: pro n větší než dva nemá rovnice aⁿ + bⁿ = cⁿ žádná řešení v kladných celých číslech. Pod ním řádek, který se stal legendou: "Objevil jsem o tom skutečně úžasný důkaz, který je příliš úzký na to, aby jej obsáhl." Celé generace matematiků, od Eulera po Kummera, odřezávaly jeho kousky. V roce 1908 byla vyhlášena cena 100 000 zlatých marek za důkaz — a jen v prvním roce přišlo 621 chybných podání.
V červnu 1993 Andrew Wiles představil svůj důkaz v sérii přednášek v Cambridge. O dva měsíce později otázka rozhodčího odhalila mezeru v jedné z konstrukcí. Wiles strávil rok opravováním, nejprve sám a poté se svým bývalým studentem Richardem Taylorem, téměř to vzdal a nakonec publikoval 129stránkový článek v roce 1995. Zůstávala jedna „inženýrská“ otázka: mohl by být vyroben počítač, který by to všechno potvrdil?
Ne nový důkaz, ale nová schopnost
Formalizace následuje po výkladu argumentu Wiles-Taylor z roku 1995 Darmon–Diamond–Taylor, který prochází Langlands–Tunnellovým teorémem a Ribetovým snižováním úrovně. Myšlenka formalizovat Wilese se datuje do roku 2000, kdy ji navrhl nizozemský počítačový vědec Jan Bergstra, ale donedávna to vypadalo jako kariérní hodnota práce pro celý obor. Některé případy – čtvrtá mocnina, běžná prvočísla – již byly přeneseny na Lean. S novým úložištěm je Wiedijkův seznam 100 formalizačních výzev, dvacet let starý benchmark této oblasti, zcela uzavřen.
Buzzard je upřímný v matematice samotné: formálně nám práce neříká nic nového – už Wilesovi věřil. Hodnota je jinde. Ověření čerstvé písemky z matematiky dnes trvá měsíce nebo roky; pokud stroj dokáže formalizovat důkaz za běhu, začnou se objevovat revizní zmenšovače a skryté předpoklady „odborníků známé“. Pro disciplínu postavenou na poctivosti svých závěrů je to vážný posun.
Jak těch 11 dní vypadalo zevnitř
Práci vedl Tianyi Peng, antropický výzkumník, který dříve vytvořil skupinu nástrojů pro formování umělé inteligence na Kolumbijské univerzitě. Říká, že zpočátku nikdy neplánoval dojít do cíle – chtěl jen vidět, jak daleko Claude dokáže posunout Buzzardův projekt. Tlačilo to celou cestu.
Mnoho agentů pracovalo paralelně: někteří vyplňovali matematické definice, jiní útočili na mezilehlá lemmata, jiní šplhali po stromě teorémů a další zase spojovali části do jediného argumentu. První dny šly stranou — agenti ztratili přehled o celkovém stavu projektu a do finálního kódu přežilo jen asi sedm procent prvních pokusů. Zlom nastal, když se tým přesunul na platformu s názvem Prove2Me: důkaz tam žije jako graf uzlů teorémů, takže v každém okamžiku můžete vidět, co je dokázáno, co čeká na předpoklady a na co útočit jako další. Výroky jsou odděleny od důkazů, kompilace je zrychlena a každá věta nese textový popis pro vyhledávání. Rozsah: kolem šesti miliard výstupních tokenů, s lidským vstupem omezeným na rady na vysoké úrovni jako „tento směr má prioritu“.
Kde hledat
Úložiště je na GitHubu – ověření můžete spustit sami, pokud najdete 96jádrový stroj a trochu trpělivosti. Primární zdroje:Antropický zápisaBuzzardův příspěvekna blogu projektu Xena.
A pokud vás příběh o 13 milionech řádků přiměje zvědavý, jak moderní modely zvládají menší úkoly – algoritmy, kód, výpočty – zkusteKódaPovídánísekce na NeuralSpace, nebo připojte modely k vašim vlastním projektům prostřednictvím API.